Введение

Нелинейные электроприемники вызывают искажение синусоидальности кривой питающего тока и напряжения, что ведет к значительному технико-экономическому ущербу [1]. По данным центра электромагнитной безопасности [2], исследовавшего в России состояние электрических сетей крупнейших зданий, последние подвергаются интенсивному воздействию высших гармоник тока и напряжения. Очевидно, что подобная проблема существует и в Республике Беларусь.

Потребители электрической энергии с нелинейной вольт-амперной характеристикой вызывают дополнительный нагрев питающих их кабелей. Это связано с увеличением потерь мощности в кабелях, которое обусловлено ростом активного сопротивления токопроводящих жил за счет поверхностного эффекта (скин-эффекта).

Для учета влияния поверхностного эффекта на сопротивление токопроводящих жил кабеля следует иметь их адекватную математическую модель.

Целью данной работы является проведение анализа существующих математических моделей и методик учета поверхностного эффекта в токопроводящих жилах кабелей для определения области их применения при проведении практических расчетов.

Существующие инженерные математические модели учета поверхностного эффекта

При протекании по жилам проводов и кабелей переменных токов в них наблюдается скин-эффект – вытеснение тока к поверхности проводника.

Точные математические выражения, описывающие влияние частоты электрического тока на сопротивление токопроводящей жилы даны в теории электромагнитного поля [3]. Так, согласно теореме Умова–Поинтинга, активное сопротивление токопроводящей жилы определяется выражением

где ω – угловая частота электрического тока; b₀ – модуль функции Бесселя нулевого порядка первого рода; b₁ – модуль функции Бесселя первого порядка первого рода; β₀ – аргумент функции Бесселя нулевого порядка первого рода; β₁ – аргумент функции Бесселя первого порядка первого рода; γ – удельная проводимость токопроводящей жилы; μ – магнитная проницаемость; a – радиус токопроводящей жилы.

Построим зависимость относительного сопротивления R* медной токопроводящей жилы различного сечения от частоты электрического тока (рис. 1):

где R– сопротивление токопроводящей жилы на постоянном токе.

Из анализа рис. 1 следует, что степень увеличения сопротивления токопроводящей жилы определяется не только частотой тока, но и радиусом (сечением) жилы. Поверхностный эффект сильнее проявляется у жил большего сечения.

Выражение (1) дает точные результаты, но содержит сложные математические функции и поэтому в инженерных расчетах не применяется. На практике используют более простые математические выражения, аппроксимирующие зависимость сопротивления токопроводящей жилы от частоты электрического тока.

 

Рис. 1. Зависимость сопротивления токопроводящей жилы от частоты

В работах [4]–[8] встречаются различные методики учета поверхностного эффекта, но наиболее часто используется следующее выражение для определения сопротивления жилы переменному току [4]:

где y_п – коэффициент, учитывающий поверхностный эффект; y_б – коэффициент, учитывающий эффект близости кабелей.

Значение y_п предлагается рассчитывать по формуле

или определять графически [5] в зависимости от параметра x, который, в свою очередь, определяется выражением

где k– экспериментальный коэффициент [4], зависящий от конструкции токопроводящей жилы; R– сопротивление токопроводящей жилы постоянному току при максимально допустимой температуре T_{ж max^,} Ом/м

где ρ– удельное сопротивление материала жилы постоянному току при 20 °С, Ом∙м; α– температурный коэффициент сопротивления, 1/°С; k₀ – коэффициент скрутки [6]; T_{ж max} – максимальная рабочая температура, °С (определяется типом используемой изоляции), установленная в стандарте или технических условиях на кабель конкретного типа; F_ж– сечение жилы, м².

Выражение (3) дает достаточно точные значения при х < 2,8. Зависимость частоты электрического тока от сечения токопроводящей жилы (для х = 2,8), при которой можно использовать аппроксимацию (3), приведена на рис. 2.

Рис. 2. Зависимость частоты электрического тока от сечения
токопроводящей жилы для условия х = 2,8

Таким образом, например, для медной токопроводящей жилы сечением 240 мм2 область применения (3) ограничивается диапазоном частот от 0 до 285 Гц, т. е. пятой гармоникой. Этого недостаточно для анализа влияния высших гармоник (до 40-й включительно) на увеличение сопротивления токопроводящей жилы. Для сечений жил 35 мм2 и ниже аппроксимацию (3) можно использовать до частот 2 кГц и выше (в случае необходимости).

Для того чтобы убедиться в правильности условия применения выражения (3), построим зависимость R_ж(f) по выражениям (2)–(4) в диапазоне частот f = 0–2 кГц для медной круглой многопроволочной жилы сечением 35 мм2 (рис 3, а ) и 400 мм2 (рис. 3, б ) для максимальной температуры жилы 80 °С. Первый график (рис 3, а ) – «правильный», т. е. соответствует условию х  < 2,8 во всем диапазоне частот, второй (рис. 3, б ) – «неправильный», для него условие х  < 2,8 выполняется только в диапазоне частот от 0 до 170 Гц. Для сравнения, в тех же осях построим такие же зависимости по выражению (1), не учитывая при этом эффект близости.

а)

б)

Рис. 3. Зависимость сопротивления токопроводящей жилы от частоты:
а – для х < 2,8 во всем диапазоне частот; б – для х < 2,8 только в диапазоне частот от 0 до 170 Гц («неправильный» график); 2 – графики построены по выражению (1); 1 – графики построены по выражениям (2)–(4)

Из анализа графиков рис. 3 следует:

1. Для «неправильного» графика (график 1 на рис. 3, б) – в аппроксимации (3) увеличение сопротивления жилы при частотах выше 1 кГц проявляется слабо (сопротивление практически постоянно и не зависит от частоты), что не соответствует действительности (график 2 на рис. 3, б).

2. Выражения (1) и (2)–(4) дают разные результаты при выполнении условия х < 2,8 во всем диапазоне частот.

3. Погрешность аппроксимации (3) относительно аппроксимации (1) зависит от частоты тока и от сечения токопроводящей жилы. Зависимость максимальной частоты от сечения токопроводящей жилы, при которой относительная погрешность не превышает 5 %, приведена на рис. 4.

Рис. 4. Зависимость максимальной частоты (при которой относительная погрешность не превышает 5 %) от сечения токопроводящей жилы

Активное сопротивление жилы кабеля на частоте n-й гармоники в некоторых публикациях [7] определяется по выражению

где n– номер гармоники.

В выражении (5) на частоте основной гармоники n=1 (50 Гц) сопротивление жилы кабеля Rж получается меньше значения сопротивления жилы постоянному току R, что не может соответствовать действительности. В то же время в [7] ничего не сказано, для каких гармоник следует применять данное выражение. Построим графическую зависимость относительного активного сопротивления медной токопроводящей жилы различного сечения от частоты R*f по выражению (5), представленную на рис. 5.

Рис. 5. Зависимость относительного активного сопротивления
медной токопроводящей жилы от частоты R*f:
1 – по выражению (5); 2 – по выражению (1)

Из анализа (рис. 5) можно сделать вывод, что аппроксимация (5) хорошо совпадает с графиком, построенным по выражению (1), в области частот от 200 Гц и выше лишь для значений сечения около 300 мм2, при других значениях сечения отличия существенны (рис. 5). Это объясняется тем, что аппроксимация (5) не учитывает геометрические размеры жилы (зависимость 1, построенная для различных сечений, неизменна).

В [8] предлагается учитывать поверхностный эффект следующим образом. Считают, что ток при наличии поверхностного эффекта протекает не через все сечение проводника, а только через верхний слой толщиной Δ. Соответственно, уменьшается активное сечение токопроводящей жилы (заштрихованная область на рис. 6) и, как следствие, пропорционально возрастает сопротивление жилы.

Рис. 6. К пояснению скин-эффекта

Сопротивление токопроводящей жилы при этом определяется по выражению

где Fr  – площадь поперечного сечения токопроводящей жилы; F∆ – активное сечение токопроводящей жилы на n-й гармонике.

В [8] приведено следующее выражение для определения активного сопротивления токопроводящей жилы на n-й гармонике: выражению

где r  – радиус жилы; ∆  – толщина токопроводящего слоя;

где c – скорость света в вакууме, 3∙108 м/с; ρ  – удельное сопротивление материала жилы; ε0  – электрическая постоянная; μ0 – относительная магнитная проницаемость; f  – частота сети.

Известно, что с ростом частоты толщина токопроводящего слоя уменьшается и, соответственно, уменьшается активное сечение токопроводящей жилы. Из данной же формулы следует, что активное сечение жилы с ростом частоты (т. е. с уменьшением толщины токопроводящего слоя ∆ ) возрастает, что не соответствует действительности (при бесконечно большой частоте и, соответственно, толщине токопроводящего слоя ∆= 0  сечение получается равно полному сечению жилы F_ж^(п) = π r 2 ). Таким образом, следует признать данное выражение ошибочным.

Активное сечение токопроводящей жилы (при условии, что r/∆>10) можно определить по выражению

Выражение (7) получено для условия бесконечно толстого провода, т. е. когда зависимость плотности тока от глубины экспоненциальна и дает хорошие результаты. Когда толщина скин-слоя соизмерима с радиусом жилы или даже превышает значение радиуса, выражение (7) дает некоторую погрешность (значение величины скин-слоя получается меньше, чем на самом деле, т. е. поверхностный эффект преувеличен).

Построим графическую зависимость относительного активного сопротивления медной токопроводящей жилы сечением 400 мм2 от частоты тока R*(f) по выражениям (6)–(8) и сравним с аппроксимацией (1) (рис. 7).

Рис. 7. Зависимость относительного активного сопротивления медной токопроводящей жилы сечением 400 мм2 от частоты тока в диапазоне от 30 до 2000 Гц:
1 – построенная по выражениям (6)–(8); 2 – построенная по выражению (1)

На рис. 7 наблюдается хорошее совпадение графиков. Некоторое отличие можно заметить лишь при низких частотах (до 300 Гц).

Заключение

Таким образом, проведенный анализ существующих математических моделей учета поверхностного эффекта в токопроводящих жилах кабелей позволил определить область их применения. При расчетах с применением ПЭВМ следует использовать выражение (1); при расчетах без ПЭВМ для определения сопротивления токопроводящих жил на низких частотах (когда выполняется условие х < 2,8) использовать выражения (2)–(4), на более высоких частотах, когда не выполняется условие х < 2,8 – применять выражения (6)–(8).