ВВЕДЕНИЕ

На протяжении нескольких десятилетий, в том числе и в последнее время, публикуются работы [1, 2], демонстрирующие применение метода конечных элементов для расчёта температурного поля кабельной линии. В простейшем случае рассчитывается температурное поле при заданной плотности омических потерь без учёта токов в экранах [3, 4]. В [5] учёт потерь в экране и броне проводится при помощи специализированной программы «Экран» [6].

В [7] проводится совместное решение уравнений электромагнитного поля и теплопроводности, однако отсутствие присоединённой электрической цепи заставляет использовать упрощённые условия заземления и не позволяет оценивать потери при одновременном использовании экрана и брони. Применение современных программ расчёта электромагнитных и тепловых полей методом конечных элементов даёт возможность учесть максимальное число факторов, ограничивающих нагрузочную способность кабелей, без дополнительных упрощающих предположений, а именно:

• позволяет анализировать как установившееся, так и переходное тепловое поле в режиме симметричной нагрузки и в любых видах коротких замыканий и иных аномальных режимах;
• снимает ограничения на моделирование реальных условий прокладки кабельных групп — в земле, на воздухе, в лотках и каналах, с применением засыпки и т.п.;
• даёт возможность включать в модель несколько параллельных кабельных линий с учётом их электромагнитного и теплового влияния друг на друга;
• одновременное получение данных о величине внешнего магнитного поля, которое нормируется с точки зрения электромагнитной экологии, что позволяет детально учесть эффективность принятых мер по экранированию конструкции кабельной линии.

Расчет состоит из следующих этапов.

МЕТОДИКА РАСЧЁТА

Решение уравнений электромагнитного поля для определения джоулевых потерь в экранах и броне. Уравнения квазистационарного переменного магнитного поля в частотной области с вихревыми токами записываются относительно комплексного векторного магнитного потенциала, который в двумерном плоскопараллельном приближении имеет только одну ненулевую компоненту A = A_z:

где:
μ — магнитная проницаемость, Гн/м,
γ — удельная электропроводность, См/м,
ω — циклическая частота, рад/с,
j_стор — плотность стороннего тока, А/м².

При расчёте электромагнитного поля двумерная расчётная область представляет собой поперечные сечения всех трёх кабелей, погружённых в грунт на проектную глубину. Электропроводность грунта также учтена, равно как возможные металлические конструкции (лотки, трубопроводы, арматура), находящиеся вблизи кабельной линии.

Необходимость учёта схемы соединения экранов (одностороннего, двустороннего заземления или с транспозицией) требует совместного решения уравнения магнитного поля (1) с уравнениями присоединённой электрической цепи. Уравнение ветви, содержащей массивный проводник в магнитном поле, имеет вид:

где:
U — разность потенциалов на концах проводника, В,
R — активное сопротивление проводника на постоянном токе, Ом,
A — векторный магнитный потенциал, В б/м.

Интегрирование выполняется по площади поперечного сечения проводника 'Ω.

Результатом совместного численного решения уравнений (1 и 2) является распределение плотности тока в проводящих элементах системы (жиле, экране и броне кабеля, прилегающих металлоконструкциях). Расчёт может проводиться как при номинальной симметричной токовой нагрузке линии, так и в аварийных, в том числе несимметричных режимах.

Основным результатом расчёта в нашем случае является распределение мощности омического тепловыделения, которое передаётся в качестве источника тепла в следующий этап решения. Отметим также, что в результате электромагнитного расчёта мы получаем распределение магнитного поля на поверхности земли и над нею, что может быть полезно для оценки условий электромагнитной экологии.

На втором этапе в той же расчётной области на той же самой сетке конечных элементов решается уравнение теплопроводности:

где:
T — температура, К,
t — время, с,
λ — теплопроводность, Вт/(м•К),
q — плотность мощности источника тепла, Вт/м³,
с — удельная теплоёмкость, Дж/(кг•К),
ρ — плотность, кг/м³.

Решение уравнения (3) осуществляется с граничными условиями, которые могут моделировать конвекцию при заданной скорости обдува, солнечную радиацию и другие условия прокладки. Естественным образом учитывается различная теплопроводность грунта. Имеется также возможность учёта изменения теплопроводности грунта из-за его высыхания путём организации итерационного процесса.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ РАСЧЁТ

Рассмотрим одноцепную трёхфазную кабельную линию, собранную из трёх однофазных кабелей напряжением 35 кВ, при различных способах объединения однофазных кабелей в трёхфазную группу: треугольником встык, линейно с зазором, равным диаметру кабеля. В данной статье анализируется подземное расположение кабелей с засыпкой грунтом, однако методика пригодна и для других условий прокладки, в том числе в кабельных лотках, в воздухе и т.п.

Кабели расположены треугольником
На рис.1 представлен эскиз поперечного сечения кабельной линии, а в табл. 1 — основные характеристические параметры прокладываемого кабеля.

Рис. 1. Эскиз поперечного сечения кабельной линии

 

Табл. 1. Параметры кабеля

Зададимся длиной линии L_K = 1 км.

Задача состоит в вычислении наведённых токов в экранах и броне и потерь от них. Допускаются симметричный характер нагрузки и симметричная система токов жил с действующим значением тока/ фазы 700 А. Предположение симметрии токов жил является упрощающим допущением, поскольку ввиду особенностей расположения кабелей магнитные условия взаимодействия разных фаз слегка различны. Однако это предположение является обычным для практики расчётов. Важно отметить, что относительно экранов и брони никаких допущений о симметрии токов не делается.

Одностороннее заземление экрана. Рассмотрим линию, в которой заземление экрана выполнено с одной стороны, но каждый кабель поверх экрана имеет алюминиевую броню, которая соединяется с экраном на обоих концах кабеля. Схема электрических соединений моделируется присоединённой к исходной задаче электрической цепью, программный пакет ELCUT [8] позволяет решать связанные цепные и полевые задачи.

Результатом моделирования электромагнитного поля является картина распределения плотности тока по сечению кабелей (рис. 2):

Рис. 2. Распределение плотности тока

Обратим внимание на то, что, несмотря на одностороннее заземление, в экранах появляется вихревой ток, а в системе экран-броня — и индуцированный циркуляционный ток. Расчёт позволяет оценить напряжение на 1 км кабеля, индуцированное в односторонне заземлённом экране. Результаты сведены в табл. 2.

Табл. 2. Токи и потери при прокладке треугольником с односторонним заземлением

Заземление экранов с двух сторон. Далее рассмотрим двустороннее заземление экранов кабелей. Схема соединений теперь включает в себя сопротивления заземлителей экранов на концах линии.

Учёт сопротивления заземлителей экранов необходим, поскольку оно составляет единицы Ом, что почти на порядок превосходит активное сопротивление постоянному току километрового участка экрана.

Численные эксперименты показывают, что величина эквивалентного сопротивления Земли слабо влияет на распределение токов и потерь в экранах и броне, поскольку ток через эквивалентный обратный провод не превышает 0,5% от тока экрана или брони. В свою очередь, сопротивление заземлителя влияет на результат существенно. Поэтому интересно исследовать зависимость токов и потерь в экране и броне от сопротивления заземления.

Влияние сопротивления заземлителя на токи и потери в экране и броне. С помощью утилиты серийных и статистических расчётов, входящей в состав пакета ELCUT [8], проведено исследование зависимости токов экрана и брони от сопротивления заземлителя. Сопротивление заземлителя изменялось в диапазоне 0,001-11 Ом, который с избытком охватывает все встречающиеся на практике значения сопротивлений заземлителей экранов.

Результат численного эксперимента показан на рис. 3 и 4.

Рис. 3. Токи экрана и брони в зависимости от сопротивления заземлителя, R₃

 

Рис. 4. Зависимость потерь в экране и броне от сопротивления заземлителя, R₃

 

Из рис. 3 и 4 можно сделать вывод, что в реальном диапазоне сопротивления заземлителя 1-5 Ом распределение токов и потерь меняется слабо. Так, суммарные потери в броне различаются на концах указанного диапазона всего на 2%, в то время как при увеличении сопротивления за-землителя от 0,001 до 1,0 Ом суммарные потери в броне и экране уменьшаются более чем в 3 раза.

Для расчётной методики это означает следующее:

• сопротивлением заземлителя пренебрегать нельзя. Это обстоятельство обуславливает необходимость совместного решения уравнений электрической цепи и электромагнитного поля;
• выбирать конкретное значение сопротивления заземлителя в диапазоне единиц Ом можно достаточно свободно, поскольку оно не оказывает существенного влияния на мощность потерь в экране и броне.

ТЕПЛОВОЙ РАСЧЁТ

Знание токовой нагрузки кабеля, брони и экрана позволяет рассчитать тепловой режим кабельной линии. Рассмотрим тепловое состояние кабельной линии при условии прокладки в земле треугольником (рис. 1).

Тепловые свойства материалов, использованные в расчётной модели, приведены в табл. 3.

Табл. 3. Тепловые свойства материалов

Источником температурного поля для данной задачи является распределённая по сечению токо-проводящих жил, экранов и брони удельная плотность джоулевых потерь, рассчитанная на предыдущем этапе. Обе задачи решаются на одной и той же сетке конечных элементов. Передача данных из электромагнитного расчёта в тепловой происходит автоматически. Расчётная область для температурной задачи при подземной прокладке кабелей показана на рис. 5.

Рис. 5. Расчётная область для моделирования температурного поля

Граничным условием для задачи установившегося теплового режима выберем условие конвекции в воздух с поверхности земли. Примем температуру окружающего воздуха, равную 25°С, а коэффициент конвекции α = 5 Вт/К•м². Остальные границы модели описываются естественным граничным условием нулевого нормального теплового потока.

Результатом стационарного теплового расчёта является картина температурного поля, показанная на рис. 6.

Рис. 6. Распределение температуры вблизи кабельной системы (температура окружающей среды Т₀=25°С)

Расчёт показывает, что при температуре окружающего воздуха T₀ = 25°С максимальная температура жилы составит T₀ = 73,1°С.

Итерационно повторяя электромагнитный и тепловой расчёты, можно подобрать токовую нагрузку таким образом, чтобы температура жилы и экрана вплотную приблизилась к допустимым значениям для данного типа кабеля. Вычислительную процедуру можно построить простым подбором значений тока в заданном диапазоне либо использовать встроенную в ELCUT утилиту оптимизации. В последнем случае оптимизация происходит в ограниченном диапазоне одномерного пространства значений тока с целевой функцией «максимальная близость температуры жилы к заданному значению». В ELCUT для этого используется метод Брендта.

Расположение кабелей в ряд с просветом
Рассмотрим другой распространённый вариант объединения однофазных кабелей в трёхфазную кабельную группу — линейно с зазором, равным диаметру кабеля (рис. 7). Габариты расчётной области и глубина залегания кабельной группы такие же, как на рис. 5. Электромагнитный расчёт проводился при двустороннем заземлении экранов.

Рис. 7. Кабельная линия с линейным расположением кабелей

Электромагнитное и температурное поля вблизи кабелей показаны на рис. 8.

Рис. 8. Распределение полей вблизи кабелей при линейной прокладке с двусторонним заземлением экранов

На рис. 8В изотермы проведены через 1оС, стрелки показывают относительную величину и направление тепловых потоков.

Сравнение с рис. 6 приводит к выводу, что при данной глубине прокладки и теплопроводности грунта расположение фаз в линию оказывается термически более выгодным. Это связано как с большей индуктивной связью между экранами отдельных кабелей, так и с относительно худшими условиями охлаждения при прокладке треугольником.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе применён метод конечных элементов для расчёта потерь и температурного режима кабельной линии. Метод позволяет учесть электромагнитное и тепловое взаимное влияние кабелей друг на друга, а также особенности прокладки и наличие металлоконструкций в непосредственной близости.

В дополнение к предыдущим работам на указанную тему применено совместное решение цепно-полевой задачи. Это позволяет точно учесть особенности схемы заземления и тем самым достоверно оценить электромагнитные потери в экранах и броне.

В данной работе исследованы установившиеся симметричные режимы работы кабельной линии. Метод конечных элементов позволяет проводить нестационарные расчёты при различных аварийных режимах, в том числе несимметричных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кабели электрические. Расчет номинальной токовой нагрузки, ГОСТ Р МЭК 60287-2009, 2009.
2. Geoge J. Anders Rating of Electric Power Cables: Ampacity Computations for Transmission, Distribution, and Industrial Applications. — McGraw Hill Professional, 1997, 428 c.
3. Electric cables — Calculations for current ratings — Finite element method. — IEC Technical Report TR 62095. — First Edition 2003.
4. Л.А. Ковригин и др. Расчет температурных полей и токовых нагрузок кабелей в ANSYS. «КАБЕЛЬ-news», №4, 2009, с. 91-95.
5. Г.В. Грешняков, Г.Г. Ковалёв, С.Д. Дубицкий. К вопросу о выборе предельно допустимых токов силовых кабелей. — «Кабели и провода», №6,2011, с. 12-16.
6. М.В. Дмитриев, Г.А. Евдокунин. Заземление экранов однофазных силовых кабелей высокого напряжения // Перенапряжения и надёжность эксплуатации электрооборудования. СПб. 2008.
7. В.В. Титков. К оценке теплового режима трехфазной линии из СПЭ-кабеля. «КАБЕЛЬ-news», №10, 2009, с. 47-51.
8. ELCUT 5.10. Руководство пользователя. ООО «Тор», Санкт-Петербург, 2012, 356 c.